Como determinar a constante de proporcionalidade e as dimensões quando as arestas são proporcionais a p, q e r e a área total At é conhecida?

Assuma \(a=kp,\; b=kq,\; c=kr\). Substitua em At=2(ab+ac+bc), resolva para \(k\) e calcule \(a,b,c\) e \(E=a+b+c\).

Exemplo:
Se as proporções são 2, 3 e 4 e At = 468:
Assuma \(a=2k,\; b=3k,\; c=4k\).
Então \(ab=6k^2,\; ac=8k^2,\; bc=12k^2\) e \(ab+ac+bc=26k^2\).
Como \(At=2(ab+ac+bc)\): \(2\cdot26k^2=468 \Rightarrow 52k^2=468 \Rightarrow k^2=9 \Rightarrow k=3\).
Logo \(a=6,\; b=9,\; c=12\) e \(E=a+b+c=6+9+12=27\).