Se dois sólidos têm, para todo z, secções por planos horizontais com a mesma área, o que se conclui sobre seus volumes?

Conclui‑se que os volumes são iguais pelo Princípio de Cavalieri.

A explicação: se para todo z em um intervalo comum as áreas das secções são \(A(z)\) idênticas, então os volumes são iguais pois
\(V=\int A(z)\,dz\) para ambos os sólidos, logo os integrais coincidem.

Exemplo:
Considere um sólido cuja secção em altura \(z\in[-1,1]\) é o disco de área \(A(z)=\pi(1-z^2)\). O volume é
\(
\(V=\int_{-1}^{1}\pi(1-z^2)\,dz=\pi\big[z-\tfrac{z^3}{3}\big]_{-1}^{1}=\pi\big(\tfrac{2}{3}-(-\tfrac{2}{3})\big)=\tfrac{4\pi}{3}\).
\)Se outro sólido tiver as mesmas áreas \(A(z)\) para todo \(z\in[-1,1]\), seu volume também será \(\tfrac{4\pi}{3}\).