Como se determina a natureza (elipse, parábola ou hipérbole) de uma cônica a partir do discriminante \(B^2-4AC\)?

Se \(B^2-4AC<0\) então é elipse; se \(B^2-4AC=0\) é parábola; se \(B^2-4AC>0\) é hipérbole.

Explicação:
O discriminante \(B^2-4AC\) classifica a cônica sem considerar os termos lineares. Após identificar a natureza, obtém‑se a forma reduzida completando quadrados para achar o centro e os semi-eixos (no caso de elipse/hipérbole).

Exemplo:
Considere \(9x^2+4y^2-36x+8y+27=0\).
Calcule \(B^2-4AC=0-4\cdot9\cdot4=-144<0\) → elipse.
Complete os quadrados:
\(9x^2-36x=9(x^2-4x)=9[(x-2)^2-4]=9(x-2)^2-36\)
\(4y^2+8y=4(y^2+2y)=4[(y+1)^2-1]=4(y+1)^2-4\)
Substituindo: \(9(x-2)^2-36+4(y+1)^2-4+27=0\Rightarrow 9(x-2)^2+4(y+1)^2=13\).
Forma canónica: \(\dfrac{(x-2)^2}{13/9}+\dfrac{(y+1)^2}{13/4}=1\).
Centro: \((2,-1)\). Semi‑eixos: \(\sqrt{13}/3\) e \(\sqrt{13}/2\) (eixo maior paralelo a \(y\)).