Como se classifica uma cônica dada por Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 pelo discriminante Δ = B^2 − 4AC?

Δ > 0 → hipérbole; Δ = 0 → parábola; Δ < 0 → elipse (ou circunferência se A = C e B = 0).

O valor de Δ = B^2 − 4AC determina a classe da cônica independentemente dos termos lineares e constantes.
Se A e C não são ambos nulos, calcula‑se Δ e aplica‑se a regra acima para classificar a curva.

Exemplo:
Considere a cônica \( -x^{2}+4xy+y^{2}-5=0.\)
Aqui \(A=-1,\; B=4,\; C=1\). Calcula‑se \( \Delta = B^{2}-4AC = 4^{2}-4(-1)(1)=16+4=20>0.\)
Logo é uma hipérbole.