Flashcard FC264773
Para a hipérbole \( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), qual o produto das distâncias de um ponto da hipérbole às suas assíntotas?
Geometria Analítica
IDECAN · 2021
Para a hipérbole \( \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), qual o produto das distâncias de um ponto da hipérbole às suas assíntotas?
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Resposta
\( \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\)As assíntotas são \(y=\pm\frac{b}{a}x\), cujas formas gerais são \(bx-ay=0\) e \(bx+ay=0\).
Para \(P(x_0,y_0)\) na hipérbole, as distâncias são \(d_1=\dfrac{|bx_0-ay_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) e \(d_2=\dfrac{|bx_0+ay_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Logo \(d_1d_2=\dfrac{|b^2x_0^2-a^2y_0^2|}{a^2+b^2}\).
Como \(y_0^2=b^2\!\left(\dfrac{x_0^2}{a^2}-1\right)\), tem-se \(b^2x_0^2-a^2y_0^2=a^2b^2\).
Portanto \(d_1d_2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\), constante para qualquer ponto da hipérbole.
Exemplo:
Seja \(a=3,\;b=4\). Então \(d_1d_2=\dfrac{9\cdot16}{9+16}=\dfrac{144}{25}=5{,}76\).
Escolhendo \(x_0=5\), vem \(y_0^2=16\!\left(\dfrac{25}{9}-1\right)=\dfrac{256}{9}\), \(y_0=\tfrac{16}{3}\).
As retas: \(4x-3y=0\) e \(4x+3y=0\).
Distâncias: \(d_1=\dfrac{|20-16|}{5}=\tfrac{4}{5}\), \(d_2=\dfrac{|20+16|}{5}=\tfrac{36}{5}\).
Produto: \(\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{36}{5}=\dfrac{144}{25}=5{,}76\).
Veja como foi cobrado:
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