Como identificar que uma matriz 2×2 representa uma rotação no plano e como determinar seu ângulo?

Se é ortogonal (A^TA = I) e det(A)=1; e o ângulo θ satisfaz A = \(\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\), então θ = atan2(a_{21},a_{11}).

Explicação:
Uma matriz 2×2 representa uma rotação quando preserva comprimentos e ângulos (ou seja, é ortogonal: A^TA = I) e tem determinante +1 (isso exclui reflexões).
Para localizar o ângulo, compare A com a forma padrão da rotação: os elementos fornecem \(a_{11}=\cos\theta\) e \(a_{21}=\sin\theta\), logo \(\theta=\operatorname{atan2}(a_{21},a_{11})\).

Exemplo:
\(B=\begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt{2}}{2} & -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt]\tfrac{\sqrt{2}}{2} & \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}\).
Verifica-se \(B^{T}B=I\) e \(\det B=1\), portanto é rotação.
Como \(a_{11}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) e \(a_{21}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), temos \(\theta=\operatorname{atan2}\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=\tfrac{\pi}{4}\) (45°).
Aplicando em \((1,0)\) obtém-se \(\big(\cos\tfrac{\pi}{4},\sin\tfrac{\pi}{4}\big)=\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)\), confirmando a rotação de 45°.