Qual é a relação entre a, b e c numa hipérbole e qual a forma canônica quando o eixo transverso é vertical?

c^2 = a^2 + b^2 e a forma canônica (eixo transverso vertical) é \(\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}-\dfrac{(x-x_0)^2}{b^2}=1\).

Explicação:
Identifica-se o centro como o ponto médio entre vértices.
Calcula-se \(a\) como a distância do centro a um vértice.
Determina-se \(c\) pela distância do centro ao foco.
Obtém-se \(b^2\) pela relação c^2 = a^2 + b^2 e monta-se a equação na forma vertical acima.

Exemplo:
Se o centro for \((2,3)\), os vértices \((2,6)\) e \((2,0)\) dão \(a=3\).
Se um foco for \((2,8)\) então \(c=5\).
Logo \(b^2=c^2-a^2=25-9=16\).
A equação é \(\dfrac{(y-3)^2}{9}-\dfrac{(x-2)^2}{16}=1\).