Como se obtém a equação de uma parábola a partir da condição "distância do ponto ao foco = distância do ponto à diretriz"?

Igualando a distância ponto–foco à distância ponto–reta e elevando ao quadrado para eliminar raiz e valor absoluto.

Explicação:
Se o foco é \((x_f,y_f)\) e a diretriz é \(ax+by+c=0\), impõe-se
\( \sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \).
Elevando ao quadrado e simplificando obtém-se a equação cartesiana da parábola.

Exemplo:
Considere foco \((0,2)\) e diretriz \(y+2=0\).
Impondo a condição:
\( \sqrt{x^2+(y-2)^2}=|y+2| \).
Elevando ao quadrado:
\( x^2+(y-2)^2=(y+2)^2 \).
Simplificando: \(x^2-8y=0\), ou seja \(y=\dfrac{x^2}{8}\), que é uma parábola com vértice em \((0,0)\) e eixo vertical.