Qual condição sobre os vetores normais garante que dois planos sejam paralelos?

Se os vetores normais forem proporcionais.

Explicação:
Sejam os vetores normais \( \mathbf{n}_1=(a_1,a_2,a_3)\) e \( \mathbf{n}_2=(b_1,b_2,b_3)\).
Os planos são paralelos se existir uma razão \(r\) tal que \( \mathbf{n}_2 = r\,\mathbf{n}_1\), isto é, se
\( \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3}\) (considerando casos com componentes nulas de forma consistente).

exemplo
Determine \(p,q\) para que os planos \(3x-2y+z+4=0\) e \(px+qy-2z+1=0\) sejam paralelos.
Normais: \(\mathbf{n}_1=(3,-2,1)\), \(\mathbf{n}_2=(p,q,-2)\). Impor proporção:
\(\dfrac{3}{p}=\dfrac{-2}{q}=\dfrac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.\)
Da primeira igualdade: \(\dfrac{3}{p}=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow p=-6.\)
Da segunda: \(\dfrac{-2}{q}=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow q=4.\)
Logo \(p=-6\) e \(q=4\), tornando os vetores normais proporcionais e os planos paralelos.