Flashcard FC264800
Qual substituição reduz a equação de Bernoulli \(y'+P(t)y=Q(t)y^n\) a uma equação linear?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2022
Qual substituição reduz a equação de Bernoulli \(y'+P(t)y=Q(t)y^n\) a uma equação linear?
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Resposta
z = y^{1-n}.Explicação:
Fazendo \(z=y^{1-n}\) tem-se \( \dfrac{dz}{dt}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dt}\).
Substituindo na equação de Bernoulli obtém-se uma ODE linear em \(z\), que se resolve com fator integrante.
Exemplo:
Considere \( \dfrac{dy}{dt}+3y=4y^2\) (aqui \(n=2\)).
Faça \(z=y^{1-2}=y^{-1}\), então \(\dfrac{dz}{dt}=-y^{-2}\dfrac{dy}{dt}\).
Substituindo: \(-z^{-2}\dfrac{dz}{dt}+3z^{-1}=4z^{-2}\). Multiplicando por \(z^2\): \(-\dfrac{dz}{dt}+3z=4\).
Ou \(\dfrac{dz}{dt}-3z=-4\). Fator integrante \(\mu(t)=e^{-3t}\).
\((e^{-3t}z)'=-4e^{-3t}\Rightarrow e^{-3t}z=\dfrac{4}{3}e^{-3t}+C\).
Logo \(z=\dfrac{4}{3}+Ce^{3t}\) e finalmente \(y=\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{4+3Ce^{3t}}\).
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