O que representa geometricamente \(f'(p)\) e qual é a equação da reta tangente ao gráfico de \(f\) em \((p,f(p))\)?

f'(p) é o coeficiente angular da reta tangente; a equação é \(y-f(p)=f'(p)(x-p)\).

Explicação:
Por definição, \(f'(p)=\lim_{h\to0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}\), que é o coeficiente angular da reta que melhor aproxima o gráfico em \(p\).
Usando a forma ponto-coeficiente, a reta tangente em \((p,f(p))\) com coeficiente \(f'(p)\) é \(y-f(p)=f'(p)(x-p)\).

Exemplo:
Se \(f(x)=x^2\) e \(p=1\):
\(f'(x)=2x\), logo \(f'(1)=2\).
A reta tangente: \(y-f(1)=f'(1)(x-1)\Rightarrow y-1=2(x-1)\Rightarrow y=2x-1\).