Qual é a equação da reta tangente à parábola \(y=x^2\) no ponto \((t,t^2)\) e como determinar os valores de \(t\) para que essa tangente passe por um ponto \((x_0,y_0)\)?

y - t^2 = 2t(x - t).
Impondo que passe por \((x_0,y_0)\): \(y_0 - t^2 = 2t(x_0 - t)\) e resolve-se essa equação para \(t\).

exemplo:
Se o ponto for \((0,-1)\):
\(-1 - t^2 = 2t(0 - t) = -2t^2\)
\(\Rightarrow -1 - t^2 = -2t^2 \Rightarrow -1 + t^2 = 0 \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t=\pm1\).
Portanto os pontos de tangência são \((1,1)\) e \((-1,1)\).
As tangentes: para \(t=1\): \(y-1=2(x-1)\Rightarrow y=2x-1\).
Para \(t=-1\): \(y-1=-2(x+1)\Rightarrow y=-2x-1\).