Quais são as condições, em termos de derivadas, para que um ponto seja de inflexão e para que seja um extremo local?

Inflexão: \(f''(x_0)=0\) e há troca de concavidade em \(x_0\).
Extremo local: \(f'(x_0)=0\); se \(f''(x_0)>0\) é mínimo, se \(f''(x_0)<0\) é máximo.

Essas são as condições usuais: a primeira assegura que a curvatura se anula e deve mudar de sinal para haver inflexão; a segunda é o teste da segunda derivada para classificar extremos locais.

Exemplo:
Considere \(p(x)=x^3-6x+1\).
\(p'(x)=3x^2-6=3(x^2-2)\Rightarrow p'(x)=0\) em \(x=\pm\sqrt{2}\) (candidatos a extremos).
\(p''(x)=6x\). Então \(p''(-\sqrt{2})= -6\sqrt{2}<0\) → máximo em \(x=-\sqrt{2}\), e \(p''(\sqrt{2})=6\sqrt{2}>0\) → mínimo em \(x=\sqrt{2}\).
Para inflexão: \(p''(0)=0\) e \(p''(x)\) muda de sinal em \(0\) (negativo à esquerda, positivo à direita), logo \(x=0\) é ponto de inflexão; \(p(0)=1\).