Flashcard FC264809
Qual é a soma da série \(\sum_{i=1}^\infty i x^{i-1}\) para \(|x|<1\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2021
Qual é a soma da série \(\sum_{i=1}^\infty i x^{i-1}\) para \(|x|<1\)?
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Resposta
\(\dfrac{1}{(1-x)^2}\)Explicação:
Comece da série geométrica \(\sum_{i=0}^\infty x^i=\dfrac{1}{1-x}\) para \(|x|<1\).
Derivando em \(x\): \(\sum_{i=1}^\infty i x^{i-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}\).
Exemplo:
Calcular \(\sum_{i=1}^\infty \dfrac{i}{2^i}\).
Usando \(x=\tfrac{1}{2}\): \(\sum_{i=1}^\infty i\left(\tfrac{1}{2}\right)^{i-1}=\dfrac{1}{(1-1/2)^2}=4\).
Então \(\sum_{i=1}^\infty \dfrac{i}{2^i}=\tfrac{1}{2}\cdot4=2\).
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