Como se obtêm as classes de equivalência para a relação xRy ⇔ f(x)=f(y) quando f é par e T‑periódica?

As classes são [x]=\{\,x+kT,\,-x+kT:\;k\in\mathbb{Z}\,\}\cap A.

Explicação e exemplo:
Se f é par e T‑periódica então f(x)=f(-x) e f(x+T)=f(x). Assim os y que satisfazem f(y)=f(x) são aqueles obtidos por aplicar reflexões e translações de período: \(y=x+kT\) ou \(y=-x+kT\). Restrinja esses valores ao conjunto \(A\).

Exemplo: tome \(f(x)=\cos(3x)\) em \(A=[0,2\pi[\). Como \(\cos(3y)=\cos(3x)\) implica \(3y=\pm3x+2\pi k\), obtemos
\(y=\pm x+\tfrac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb{Z}\). Para \(x=\pi/6\) e escolhendo \(k=0,1,2\) obtemos os elementos da classe:
\(y_+=\pi/6,\; \pi/6+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{5\pi}{6},\; \pi/6+\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{3\pi}{2}\)
\(y_-=-\pi/6,\; -\pi/6+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2},\; -\pi/6+\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{7\pi}{6}\).
Ao ajustar \(-\pi/6\) para o intervalo obtém‑se \(\tfrac{11\pi}{6}\). Portanto
\([\,\pi/6\,]=\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{11\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{7\pi}{6}\}\subset A\).