Quais passos usar para determinar a imagem de uma função envolvendo \(\ln\) do tipo \(h(x)=\dfrac{\ln x}{x}\), \(x>0\)?

Derivar, achar pontos críticos, analisar monotonia e avaliar limites nas extremidades.

Passos detalhados:
1) Calcule a derivada: \(h'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\).
2) Encontre críticos resolvendo \(h'(x)=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e\).
3) Analise o sinal de \(h'\) para determinar que \(x=e\) é um máximo (positivo antes de \(e\), negativo depois).
4) Avalie limites: \(\lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty\) e \(\lim_{x\to\infty}h(x)=0\).
5) Conclua que a imagem é \(\left]-\infty,\dfrac{1}{e}\right]\), pois o valor máximo é \(h(e)=\dfrac{1}{e}\).

Exemplo:
Considere \(p(x)=\dfrac{\ln x}{x}\), \(x>0\).
Derivada: \(p'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\).
Crítico: \(\ln x=1\Rightarrow x=e\).
Valor no crítico: \(p(e)=\dfrac{1}{e}\).
Limites: \(\lim_{x\to0^+}p(x)=-\infty,\ \lim_{x\to\infty}p(x)=0\).
Logo, imagem: \(\left]-\infty,\dfrac{1}{e}\right]\).