Como obter a equação da reta tangente a uma função f no ponto x = a e determinar onde essa reta intersecta o eixo x?

Calcule f(a) e f'(a).
Reta tangente: y = f'(a)(x - a) + f(a).
Interseção com o eixo x: resolva 0 = f'(a)(x - a) + f(a) (se f'(a) ≠ 0).

Explicação:
1) A derivada f'(a) é o coeficiente angular da reta tangente.
2) Usando a forma ponto-reta encontra-se a equação da tangente passando por (a, f(a)).
3) Para achar a interseção com o eixo x, impõe-se y=0 e resolve-se para x, obtendo \(x = a - \dfrac{f(a)}{f'(a)}\) quando \(f'(a)\neq0\).

Exemplo prático:
Considere \(f(x)=x^3-x+2\) em \(a=0\).
\(f(0)=2\).
\(f'(x)=3x^2-1\Rightarrow f'(0)=-1\).
Reta tangente: \(y=-1(x-0)+2 \Rightarrow y=-x+2\).
Interseção com o eixo x: \(0=-x+2\Rightarrow x=2\).
Logo o ponto de interseção é \((2,0)\).