Flashcard FC264819
Como aplicar o critério de D'Alembert para determinar o raio de convergência de uma série de potências \(\sum_{n=0}^\infty c_n x^n\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2019
Como aplicar o critério de D'Alembert para determinar o raio de convergência de uma série de potências \(\sum_{n=0}^\infty c_n x^n\)?
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Resposta
Calcule \(L_c=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right|\). Raio \(R=1/L_c\) (se \(L_c=0\Rightarrow R=\infty\); se \(L_c=\infty\Rightarrow R=0\)). Converge para \(|x|exemplo: Considere \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2}{3^n}x^n\). Aqui \(c_n=\dfrac{n^2}{3^n}\).
\(L_c=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{(n+1)^2/3^{\,n+1}}{n^2/3^{\,n}}\right|=\dfrac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^2=\dfrac{1}{3}.\)
Logo \(R=1/L_c=3\) e a série converge para \(|x|<3\).
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