Flashcard FC264820
Quando uma equação da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é separável e qual o procedimento para resolvê-la?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2019
Quando uma equação da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é separável e qual o procedimento para resolvê-la?
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Resposta
É separável se M(x,y)=f(x)g(y) e N(x,y)=F(x)G(y); ao rearranjar obtém-se uma igualdade h(x)dx = k(y)dy e integra-se cada lado.Explicação e exemplo:
Partindo de \(f(x)g(y)\,dx+F(x)G(y)\,dy=0\), divida por \(F(x)g(y)\) (assumindo não nulos):
\(\dfrac{f(x)}{F(x)}\,dx = -\dfrac{G(y)}{g(y)}\,dy\).
Integre ambos os lados para obter a solução implícita:
\(\displaystyle \int \dfrac{f(x)}{F(x)}\,dx = -\int \dfrac{G(y)}{g(y)}\,dy + C\).
Exemplo:
Considere \(M=2x\,y^2\) e \(N=x^2\,3y\). Então
\(2x y^2\,dx + 3x^2 y\,dy = 0\).
Dividindo por \(x^2 y^2\): \(\dfrac{2}{x}\,dx = -\dfrac{3}{y}\,dy\).
Integrando: \(2\ln|x| = -3\ln|y| + C\), ou equivalentemente \(\;x^2 y^3 = C'\).
Veja como foi cobrado:
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