Como se usa o logaritmo natural para calcular limites da forma f(x)^{g(x)} (com f(x)>0)?

Tomando ln: Se \(L=\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}\) então \(\ln L=\lim_{x\to a} g(x)\ln f(x)\) e \(L=e^{\lim g(x)\ln f(x)}\).

Explicação:
Seja \(L=\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}\) com \(f(x)>0\).
Tomando logaritmo natural obtemos \( \ln L=\lim_{x\to a} g(x)\ln f(x)\).
Avalie esse limite (por álgebra, regra de L'Hôpital ou expansão assintótica).
Se o limite for finito igual a \(A\), então \(L=e^{A}\).

Exemplo:
Calcule \( \lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}\).
Temos \(\ln L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}\).
Usando a expansão \(\ln(\cos x)\sim -\tfrac{x^2}{2}\) obtemos \(\ln L=-\tfrac{1}{2}\).
Logo \(L=e^{-1/2}\).