Como, após eliminar uma variável por uma restrição (por exemplo, volume fixo), usa-se a derivada para encontrar a condição que minimiza uma quantidade geométrica?

Derivar a função de uma variável obtida pela substituição, igualar a zero e verificar que é mínimo (segunda derivada positiva).

Explicação:
1) Usar a restrição para escrever a quantidade a minimizar como função de uma única variável.
2) Calcular a derivada dessa função e resolver \(f'(x)=0\) para obter os pontos críticos.
3) Verificar que \(f''(x)>0\) no ponto crítico para garantir mínimo.

exemplo: caixa com base quadrada e volume fixo \(V\).
Defina lado da base \(a\) e altura \(h\).
\(V=a^2h\) e área total \(S=2a^2+4ah\).
Da restrição: \(h=\dfrac{V}{a^2}\). Substituindo:
\(S(a)=2a^2+\dfrac{4V}{a}\).
Derivando: \(S'(a)=4a-\dfrac{4V}{a^2}\). Igualando a zero:
\(4a-\dfrac{4V}{a^2}=0\Rightarrow a^3=V\Rightarrow a=V^{1/3}.\)
Então \(h=\dfrac{V}{a^2}=V^{1/3}\), ou seja, a altura iguala o lado da base (mínimo ocorre na forma de um cubo).