Como obter a solução geral x(t) a partir de \( \dfrac{d^2x}{dt^2}=g(t)\) e o que representam as constantes de integração?

Integrar duas vezes e incluir constantes:
Integrando duas vezes em \(t\): \( \dfrac{dx}{dt}=\int g(t)\,dt + c_1\), e \(x(t)=\int\!\left(\int g(t)\,dt + c_1\right)dt + c_2\).

Explicação completa:
1) Calcule \(v(t)=\dfrac{dx}{dt}=\int g(t)\,dt + c_1\).
2) Em seguida, \(x(t)=\int v(t)\,dt + c_2\).
As constantes \(c_1\) e \(c_2\) são as constantes de integração que determinam a velocidade inicial e a posição inicial, respectivamente.

exemplo:
Se \(\dfrac{d^2x}{dt^2}=6t\):
\(\dfrac{dx}{dt}=\int 6t\,dt = 3t^2 + c_1\).
\(x(t)=\int(3t^2+c_1)\,dt = t^3 + c_1 t + c_2\).
Com \(x(0)=2\) e \(\dfrac{dx}{dt}(0)=1\) obtemos \(c_1=1\) e \(c_2=2\), logo \(x(t)=t^3+t+2\).