Flashcard FC264825
Como verificar se uma equação diferencial da forma \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\) é exata e qual o procedimento para obter sua solução implícita?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2019
Como verificar se uma equação diferencial da forma \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\) é exata e qual o procedimento para obter sua solução implícita?
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Resposta
Calcule \(\partial M/\partial y\) e \(\partial N/\partial x\); se iguais, integre \(M\) em \(x\) (ou \(N\) em \(y\)) para obter \(F(x,y)\) e ajuste com uma função de uma variável, depois imponha a condição inicial para achar \(C\).Integração e verificação passo a passo:
1) Verifique exatidão: calcule \(\dfrac{\partial M}{\partial y}\) e \(\dfrac{\partial N}{\partial x}\). Se \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}\) em uma região, a equação é exata.
2) Encontre \(F\) integrando \(M\) em \(x\): \(F(x,y)=\int M(x,y)\,dx + g(y)\).
3) Determine \(g(y)\) comparando \(\dfrac{\partial F}{\partial y}\) com \(N(x,y)\).
4) A solução implícita é \(F(x,y)=C\); use condição inicial para obter \(C\).
Exemplo:
Considere \( (2xy+3)\,dx + (x^2+4y)\,dy=0\).
Verificação: \(\dfrac{\partial M}{\partial y}=2x\), \(\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x\) → exata.
Integre em \(x\): \(F(x,y)=\int(2xy+3)\,dx = x^2y+3x+g(y).\)
Diferencie em \(y\): \(\dfrac{\partial F}{\partial y}=x^2+g'(y)\). Igualando a \(N\): \(x^2+g'(y)=x^2+4y\) → \(g'(y)=4y\).
Integre \(g'(y)\): \(g(y)=2y^2\). Assim a solução implícita é \(x^2y+3x+2y^2=C\).
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