Flashcard FC264827
Como se calcula a derivada direcional de uma função de duas variáveis em um ponto na direção de um vetor?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2019
Como se calcula a derivada direcional de uma função de duas variáveis em um ponto na direção de um vetor?
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Resposta
Resposta: Pelo produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário da direção: \(D_{\vec a}f(P)=\nabla f(P)\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\).Explicação e exemplo:
Calcule \(\nabla f=(\partial_x f,\partial_y f)\), avalie em \(P\), obtenha o vetor unitário \(\dfrac{\vec a}{\|\vec a\|}\) e faça o produto escalar.
Exemplo:
Considere \(f(x,y)=e^{x}y+y^{3}\), \(P=(0,1)\), \(\vec a=(1,1)\).
\(\partial_x f=e^{x}y,\ \partial_y f=e^{x}+3y^{2}\).
\(\nabla f(0,1)=(1,4)\).
\(\dfrac{\vec a}{\|\vec a\|}=\dfrac{(1,1)}{\sqrt{2}}\).
\(D_{\vec a}f(0,1)=\nabla f(0,1)\cdot\dfrac{\vec a}{\|\vec a\|}=\dfrac{(1,4)\cdot(1,1)}{\sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}.\)
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