Ao trocar para coordenadas polares em uma integral dupla, como se expressam x, y, o elemento de área e qual é o Jacobiano?

x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dA = r\,dr\,d\theta (Jacobiano = r).

Ao substituir, escreva a integranda em termos de \(r,\theta\), multiplique pelo Jacobiano \(r\) e use limites para \(r\) (distância radial) e \(\theta\) (ângulo).

exemplo:
Calcule \(\iint_D (x^2+y)\,dA\) em \(D=\{(r,\theta):0.5\le r\le1.5,\ 0\le\theta\le\pi/2\}\).
Substituindo: \(x^2+y = r^2\cos^2\theta + r\sin\theta\). Com o Jacobiano o integrando é \(r^3\cos^2\theta + r^2\sin\theta\).
Então
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_{0.5}^{1.5}(r^3\cos^2\theta + r^2\sin\theta)\,dr\,d\theta\).
Integrando em \(r\): \(\left[\tfrac{1}{4}r^4\cos^2\theta + \tfrac{1}{3}r^3\sin\theta\right]_{0.5}^{1.5} = \tfrac{5}{4}\cos^2\theta + \tfrac{13}{12}\sin\theta.\)
Agora em \(\theta\): \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\!\left(\tfrac{5}{4}\cos^2\theta+\tfrac{13}{12}\sin\theta\right)d\theta = \tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{\pi}{4} + \tfrac{13}{12}\cdot1 = \tfrac{5\pi}{16} + \tfrac{13}{12}.\)