Flashcard FC264832
Como se calcula a derivada de y = f(x)^{g(x)} com f(x)>0?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2019
Como se calcula a derivada de y = f(x)^{g(x)} com f(x)>0?
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Resposta
\(y'=f(x)^{g(x)}\!\left(g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right)\)Derivando via \(y=e^{g(x)\ln f(x)}\):
\(y'=e^{g\ln f}\cdot(g\ln f)'=f^{g}\big(g'\ln f+g\cdot\frac{f'}{f}\big)\), aplicando regra do produto e da cadeia.
Exemplo:
Se \(y=(x^{2}+1)^{\sin x}\), então tomando \(f(x)=x^{2}+1\) e \(g(x)=\sin x\), temos
\(y'=(x^{2}+1)^{\sin x}\left(\cos x\cdot\ln(x^{2}+1)+\sin x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\right)\).
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