Flashcard FC264834
Como ajustar os limites e o diferencial ao usar a substituição \(u = ax + b\) em uma integral definida?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2019
Como ajustar os limites e o diferencial ao usar a substituição \(u = ax + b\) em uma integral definida?
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Resposta
Use \(du=a\,dx\Rightarrow dx=\dfrac{du}{a}\) e transforme os limites por \(u_1=ax_1+b\), \(u_2=ax_2+b\) (atenção ao sinal de \(a\)).Ao fazer \(u=ax+b\):
1) calcule \(du=a\,dx\) e substitua \(dx=\dfrac{du}{a}\).
2) transforme os limites: se \(x=x_1\) então \(u_1=ax_1+b\); se \(x=x_2\) então \(u_2=ax_2+b\).
3) obtenha \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(ax+b)\,dx=\frac{1}{a}\int_{u_1}^{u_2} f(u)\,du\) (se \(a<0\), os limites serão invertidos automaticamente pela fórmula dos \(u\)).
Exemplo:
Se \(u=3x+2\), então \(du=3\,dx\Rightarrow dx=\dfrac{du}{3}\). Para \(\displaystyle\int_{0}^{1} g(3x+2)\,dx\):
\(\;u(0)=2,\;u(1)=5\).
\(\displaystyle\int_{0}^{1} g(3x+2)\,dx=\frac{1}{3}\int_{2}^{5} g(u)\,du\).
Se soubermos \(\int_{2}^{5} g(u)\,du=9\), então o valor é \(\dfrac{1}{3}\cdot 9=3\).
Veja como foi cobrado:
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