Como aplicar a substituição \(u=g(x)\) em uma integral definida e ajustar os limites?

Resposta

Procedimento breve: Fazer \(u=g(x)\), calcular \(du=g'(x)\,dx\), substituir na integral e trocar os limites por \(u(a)=g(a)\) e \(u(b)=g(b)\); integrar em \(u\) e avaliar a primitiva nos novos limites.

Explicação e exemplo:
Seja \(\displaystyle\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}dx\). Faça \(u=x^{2}\) então \(du=2x\,dx\).
Os limites mudam: \(x=0\mapsto u=0\), \(x=1\mapsto u=1\).
Assim \(\displaystyle\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}dx=\int_{0}^{1}e^{u}du=[e^{u}]_{0}^{1}=e-1.\)