Como determinar o raio que maximiza o volume de um cilindro quando a área total é fixa?

R = \( \sqrt{\dfrac{A}{6\pi}} \).

Derivação e exemplo:
Partindo de \(A=2\pi R^2+2\pi R H\) e \(V=\pi R^2H\), isolamos \(H=\dfrac{A-2\pi R^2}{2\pi R}\) e substituímos em \(V\):
\(V(R)=\dfrac{A}{2}R-\pi R^3\).
Derivando: \(\dfrac{dV}{dR}=\dfrac{A}{2}-3\pi R^2=0\Rightarrow R^2=\dfrac{A}{6\pi}\).
Assim \(H=2R\) e \(V_{\max}=2\pi R^3\).

Exemplo:
Se \(A=54\pi\), então \(R^2=\dfrac{54\pi}{6\pi}=9\Rightarrow R=3\).
Logo \(H=2R=6\) e \(V=\pi R^2H=\pi\cdot9\cdot6=54\pi\).