Flashcard FC265022
Como demonstrar que \( \neg P \rightarrow Q \) é verdadeira ao assumir \( \neg P \) quando se sabe que exatamente uma entre várias proposições é falsa?
Lógica de Proposições
IDECAN · 2024
Como demonstrar que \( \neg P \rightarrow Q \) é verdadeira ao assumir \( \neg P \) quando se sabe que exatamente uma entre várias proposições é falsa?
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Resposta
Assumindo \( \neg P \), se isso torna a única proposição falsa, então todas as demais, inclusive \(Q\), são verdadeiras; se \(P\) for verdadeira, o antecedente é falso e a condicional é vacuamente verdadeira.Assuma \( \neg P \).
Se há exatamente uma mentira, a proposição correspondente a \(P\) é a única falsa, então qualquer outra proposição relevante é verdadeira, em particular \(Q\). Logo, sob \( \neg P\) segue \(Q\), ou seja \( \neg P \rightarrow Q\).
Se \(P\) for verdadeira, o antecedente \( \neg P\) é falso e a condicional \( \neg P \rightarrow Q\) é vacuamente verdadeira. Portanto a condicional vale em todos os casos.
Exemplo:
Considere três afirmações sobre um evento: \(P\): “Está chovendo”, \(Q\): “O chão está molhado”, \(R\): “O céu está nublado”.
Sabe-se que exatamente uma dessas afirmações é falsa. Suponha \( \neg P\) (não está chovendo). Então, para haver só uma mentira, \(P\) é a única falsa e \(Q\) e \(R\) são verdadeiras; assim \(Q\) ocorre. Portanto, sob \( \neg P\) obtém-se \(Q\), provando \( \neg P \rightarrow Q\).
Se, em vez disso, \(P\) fosse verdadeira, o antecedente \( \neg P\) seria falso e a condicional seria vacuamente verdadeira.
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