Quando a soma \( \sum_{i=1}^n a_i b_i \) entre duas sequências é máxima e quando é mínima ao reordenar uma sequência?

Máxima: quando as sequências estão na mesma ordem; Mínima: quando uma é a ordem inversa da outra.

Explicação:
Pela Desigualdade do rearranjo, ordenando \(a_1\le\cdots\le a_n\) e \(b_1\le\cdots\le b_n\), a soma \( \sum_{i=1}^n a_i b_i \) atinge o máximo alinhando ordens iguais e o mínimo alinhando uma ordem inversa.
Ao comparar esses extremos, a diferença pode ser expressa como soma de quadrados dos pares simétricos, por exemplo para \(n\) par:
\(\;E_{max}-E_{min}=\sum_{i=1}^{n}a_i^2- \sum_{i=1}^{n} a_i b_{n+1-i}=\sum_{i=1}^{n/2}(a_{n+1-i}-a_i)^2.\)

Exemplo:
Considere \(a=(1,2,3,4)\).
Ordem igual \(b=a\): \(E_{max}=1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+4\cdot4=30\).
Ordem inversa \(b=(4,3,2,1)\): \(E_{min}=1\cdot4+2\cdot3+3\cdot2+4\cdot1=20\).
Diferença: \(E_{max}-E_{min}=30-20=10\).
Verificação via quadrados: \(\sum_{i=1}^{2}(a_{5-i}-a_i)^2=(4-1)^2+(3-2)^2=9+1=10\).