Flashcard FC265075
Como representar algebraicamente um número formado por k algarismos "1" usando potências de 10?
Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
IDECAN · 2019
Como representar algebraicamente um número formado por k algarismos "1" usando potências de 10?
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Resposta
\( \dfrac{10^k-1}{9}\)Explicação:
Um número com k algarismos "1" é \(1+10+10^2+\dots+10^{\,k-1}=\sum_{i=0}^{k-1}10^i\).
Essa soma geométrica vale \( \dfrac{10^k-1}{10-1}=\dfrac{10^k-1}{9}\).
Para somas de vários desses termos, aplica-se a mesma ideia termo a termo e soma-se a expressão fechada resultante.
Exemplo:
Calcular \(1+11+111+1111\) (ou seja, soma até \(k=4\)).
Cada termo: \(1=\dfrac{10^1-1}{9},\;11=\dfrac{10^2-1}{9},\;111=\dfrac{10^3-1}{9},\;1111=\dfrac{10^4-1}{9}\).
Somando e simplificando usando a fórmula geral obtém-se \(1+11+111+1111=1234\).
Usando a expressão fechada: \( \mathsf{S}=\dfrac{1}{9}\Big(\dfrac{10^{5}-10}{9}-4\Big)=1234\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/262437
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