Como usar a conservação do somatório para calcular o número inicial de observações quando a média muda por remoções e inclusões?

Igualando o somatório inicial menos a soma dos removidos mais a soma dos adicionados ao somatório final e resolvendo para n.

Explicação:
Seja m_i a média inicial e n o número inicial de observações, então o somatório inicial é \(S_i=m_i n\).
Se a soma das idades removidas for R e a soma das idades adicionadas for A, e se saem r e entram a elementos, o número final é \(n'=n-r+a\) e o somatório final é \(S_f=m_f n'\).
Conservando somatórios: \(m_i n - R + A = m_f (n - r + a)\).
Resolva essa equação para n.

Exemplo:
Suponha média inicial \(m_i=20\) com \(n\) pessoas. Saem 3 pessoas com idades 22, 24 e 26 (soma \(R=72\)). Entram 4 pessoas com média 18 (soma \(A=4\cdot18=72\)). A nova média é \(m_f=19\).
Montamos:
\(20n - 72 + 72 = 19(n - 3 + 4)\)
\(20n = 19(n+1)\)
\(20n = 19n + 19 \Rightarrow n = 19\).