Flashcard FC272887
Ao definir \(t=\log_x y\), como se reduz a expressão \(\log_y x+\log_x y=k\) a uma equação algébrica em \(t\)?
Estatística Descritiva
VUNESP · 2022
Ao definir \(t=\log_x y\), como se reduz a expressão \(\log_y x+\log_x y=k\) a uma equação algébrica em \(t\)?
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Resposta
Use que \(\log_y x=\dfrac{1}{\log_x y}=\dfrac{1}{t}\). Portanto \(\dfrac{1}{t}+t=k\Rightarrow t^2-kt+1=0\).Exemplo:
Considere \(\log_y x+\log_x y=\dfrac{5}{2}\) e \(xy=64\).
Com \(t=\log_x y\) vem \(\dfrac{1}{t}+t=\dfrac{5}{2}\Rightarrow t^2-\dfrac{5}{2}t+1=0\).
Multiplicando por 2: \(2t^2-5t+2=0\) com raízes \(t=2\) e \(t=\tfrac{1}{2}\).
Se \(t=2\), então \(y=x^2\) e, como \(xy=x^3=64\), segue \(x=4\), \(y=16\).
A média aritmética é \(\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{4+16}{2}=10\).
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