Flashcard FC273087
Dado n valores com média μ e extremos mínimo a e máximo b, como determinar o número máximo de elementos que podem ter valor b?
Estatística Descritiva
VUNESP · 2017
Dado n valores com média μ e extremos mínimo a e máximo b, como determinar o número máximo de elementos que podem ter valor b?
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Resposta
O maior inteiro k que satisfaz \(k\cdot b + (n-k)\cdot a \le n\cdot\mu\), isto é \(k \le \dfrac{n\mu - n a}{\,b-a\,}\) (tomar o piso).Explicação:
Partindo da soma total \(S=n\mu\), suponha que existam \(k\) elementos iguais a \(b\) e os restantes \(n-k\) assumam o menor valor \(a\). Então deve valer
\(k\cdot b + (n-k)\cdot a \le S = n\mu\).
Resolvendo para \(k\):
\(k(b-a) \le n\mu - n a\) ⇒ \(k \le \dfrac{n\mu - n a}{b-a}\).
O maior número inteiro possível é \(k=\left\lfloor\dfrac{n\mu - n a}{b-a}\right\rfloor\).
Exemplo:
Suponha \(n=6\), \(a=2\), \(b=5\) e média \(\mu=3{,}5\).
Soma total \(S=6\cdot3{,}5=21\).
Inequação: \(5k+2(6-k)\le21\).
\(5k+12-2k\le21\) ⇒ \(3k\le9\) ⇒ \(k\le3\).
Logo, no máximo 3 elementos podem ter valor 5.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/272494
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