Como aplicar a conservação de energia para obter a velocidade angular de um corpo rígido que gira em torno de uma extremidade a partir da variação da altura do seu centro de massa?

Igualando a perda de energia potencial do CM à energia cinética de rotação: \(mg\Delta h=\tfrac12 I\omega^2\) ⇒ \(\displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{2g\Delta h}{I/m}}\).

Explicação:
Calcule geometricamente a variação de altura \(\Delta h\) do centro de massa entre as posições inicial e final.
Use o momento de inércia em relação ao pivô (aplique teorema dos eixos paralelos se necessário).
Aplique \(mg\Delta h=\tfrac12 I\omega^2\) e isole \(\omega\), cancelando \(m\) se possível.

Exemplo:
Rod homogêneo de comprimento \(L=2\) m pivotado numa extremidade, liberado do horizontal até a posição vertical para baixo.
Altura do CM cai \(\Delta h=L/2\). Momento de inércia em relação à extremidade: \(I=\tfrac13 mL^2\).
Aplicando energia: \(mg\frac L2=\tfrac12\left(\tfrac13 mL^2\right)\omega^2\).
Cancelando \(m\) e isolando \(\omega\): \(\omega=\sqrt{\dfrac{2g(L/2)}{(1/3)L^2}}=\sqrt{\dfrac{3g}{L}}\).
Com \(g=10\ \mathrm{m/s^2}\) e \(L=2\ \mathrm{m}\): \(\omega=\sqrt{\dfrac{30}{2}}=\sqrt{15}\approx3{,}87\ \mathrm{rad/s}.\)