Como se usa a conservação da energia mecânica com \(U(r)=-\dfrac{GmM}{r}\) para calcular a variação da energia cinética de uma massa que se move no campo gravitacional de uma esfer

Aplicando conservação: \(\Delta K=-\Delta U\), com \(U(r)=-\dfrac{GmM}{r}\) (fora da esfera).

Como não há forças dissipativas, a energia mecânica \(E=K+U\) é constante.
Para deslocamento de \(r_i\) para \(r_f\): \(K_f-K_i=U_i-U_f\).
Se parte do repouso (\(K_i=0\)), então \(K_f=U_i-U_f\).

Exemplo:
Considere uma massa \(m\) solta em repouso em \(r_i=3R\) e que chega em \(r_f=1{,}5R\) ao redor de uma esfera de massa \(M\).
\(U_i=-\dfrac{GmM}{3R}\), \(\;U_f=-\dfrac{GmM}{1{,}5R}=-\dfrac{2GmM}{3R}\).
\(K=U_i-U_f=-\dfrac{GmM}{3R}-\left(-\dfrac{2GmM}{3R}\right)=\dfrac{GmM}{3R}.\)
Velocidade ao chegar em \(r_f\): \(v=\sqrt{\dfrac{2K}{m}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{3R}}\).