Flashcard FC277812
Qual relação entre o momento angular, a massa reduzida e o raio para uma órbita circular de energia mínima?
Gravitação Universal
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Qual relação entre o momento angular, a massa reduzida e o raio para uma órbita circular de energia mínima?
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Resposta
\( |\vec L|^2=\mu\,G\,M_1M_2\,r\)Explicação:
Use a massa reduzida \( \mu=\dfrac{M_1M_2}{M_1+M_2}\). Para órbita circular a velocidade radial é nula e \( |\vec L|=\mu r v\).
Equilíbrio centrípeto/gravitacional: \( \dfrac{\mu v^2}{r}=\dfrac{G M_1M_2}{r^2}\).
Substituindo \(v=\dfrac{|\vec L|}{\mu r}\) resulta em \( |\vec L|^2=\mu G M_1M_2\,r\).
Isolando \(r\) e substituindo \(\mu\) obtemos
\( \displaystyle d=r=\frac{(M_1+M_2)|\vec L|^2}{G(M_1M_2)^2}\).
Exemplo:
Considere \(M_1=2\times10^{30}\,\mathrm{kg}\), \(M_2=1\times10^{30}\,\mathrm{kg}\) e \(|\vec L|=1\times10^{43}\,\mathrm{kg\,m^2/s}\).
Calcule \(\mu=\dfrac{2\times10^{30}\cdot1\times10^{30}}{3\times10^{30}}=6.667\times10^{29}\,\mathrm{kg}\).
Usando \(r=\dfrac{|\vec L|^2}{\mu G M_1M_2}\):
\(r=\dfrac{(1\times10^{43})^2}{(6.667\times10^{29})(6.674\times10^{-11})(2\times10^{60})}\approx1.1\times10^{6}\,\mathrm{m}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/277563
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