Como obter a relação entre as velocidades em dois pontos de um escoamento incompressível com áreas e alturas diferentes usando continuidade e o teorema de Bernoulli?

Pelo balanço de massa: \(A_1V_1=A_2V_2\).
Pelo Bernoulli (entre os dois pontos, mesmas pressões): \(\rho g z_1+\tfrac12\rho V_1^2=\rho g z_2+\tfrac12\rho V_2^2\).

Substituindo \(V_2=(A_1/A_2)V_1\) da continuidade na equação de Bernoulli e isolando \(V_1\) obtém-se a relação desejada.

Exemplo:
Considere uma superfície livre em um reservatório de área \(A_1=10\ \mathrm{m^2}\) conectada a um tubo de saída de área \(A_2=0{,}05\ \mathrm{m^2}\) situado \( \Delta z=4\ \mathrm{m}\) abaixo. Pela continuidade \(V_2=(A_1/A_2)V_1\). Substituindo em Bernoulli: \(g\Delta z=\tfrac12 V_1^2\!\left(\dfrac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)\).
Assim
\(V_1=\sqrt{\dfrac{2g\Delta z}{\left(\dfrac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)}}\).
Com \(A_1/A_2=200\):
\(V_1=\sqrt{\dfrac{2\cdot9{,}81\cdot4}{200^2-1}}=\sqrt{\dfrac{78{,}48}{39999}}\approx0{,}044\ \mathrm{m/s}\).