Flashcard FC277942
Qual transformação torna uma função logística do tipo \( \sigma(t)=\dfrac{\sigma_0}{1+e^{-(t-t_c)/\tau}} \) linear em \(t\)?
Eletrostática
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Qual transformação torna uma função logística do tipo \( \sigma(t)=\dfrac{\sigma_0}{1+e^{-(t-t_c)/\tau}} \) linear em \(t\)?
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Resposta
Aplique o logaritmo natural à razão \( \dfrac{\sigma_0}{\sigma}-1\): \( \ln\!\left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma}-1\right)= -\dfrac{t}{\tau}+\dfrac{t_c}{\tau}.\)Demonstration:
Comece com \( \sigma(t)=\dfrac{\sigma_0}{1+e^{-(t-t_c)/\tau}} \).
Isole a razão: \( \dfrac{\sigma_0}{\sigma}-1 = e^{-(t-t_c)/\tau} \).
Aplique ln: \( \ln\!\left(\dfrac{\sigma_0}{\sigma}-1\right)= -\dfrac{t-t_c}{\tau} = -\dfrac{t}{\tau}+\dfrac{t_c}{\tau} \),
portanto é uma função linear de \(t\) com coeficiente angular \(-1/\tau\) e intercepto \(t_c/\tau\).
Exemplo:
Considere \(P(t)=\dfrac{K}{1+e^{-(t-t_0)/r}}\) com \(K=1000,\;r=2,\;t_0=5\).
Calcule \(P(7)=\dfrac{1000}{1+e^{-(7-5)/2}}=\dfrac{1000}{1+e^{-1}}\approx 731{.}06\).
Verifique a linearidade: \( \ln\!\left(\dfrac{K}{P(7)}-1\right)=\ln( e^{-1})=-1\).
E pela forma linear: \(-\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{2}=-1\), conferindo a igualdade.
Veja como foi cobrado:
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