O que representa a densidade de polarização \(\mathbf P(\mathbf r)\) e por que ela aparece na expressão integral do potencial eletrostático de um dielétrico?

É o momento dipolar por unidade de volume; aparece porque o dielétrico é modelado como uma soma (integração) de dipolos elementares — a aproximação dipolar do potencial.

Explicação e exemplo:
Define‑se \(d\mathbf p=\mathbf P(\mathbf r')\,dV'\). Assim o potencial é
\( \displaystyle V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathbf P(\mathbf r')\cdot(\mathbf r-\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,d^3r'\).

Exemplo: para uma esfera de raio \(R\) com polarização uniforme \(\mathbf P\) (constante dentro da esfera) tem-se dipolo total \(\mathbf p=\mathbf P\cdot\text{Vol}=\mathbf P\,(4\pi R^3/3)\).
Fora da esfera (\(|\mathbf r|>R\)) o potencial é idêntico ao de um dipolo pontual:\
\( \displaystyle V_{\text{out}}(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{r^3}\).
Dentro da esfera o potencial é linear em \(\mathbf r\):\
\( \displaystyle V_{\text{in}}(\mathbf r)=-\frac{1}{3\varepsilon_0}\,\mathbf P\cdot\mathbf r\), produzindo campo uniforme \(\mathbf E=-\mathbf P/(3\varepsilon_0)\).
Isso ilustra como integrar \(\mathbf P\) recupera o potencial macroscópico a partir da soma de dipolos.