O que garante a ortogonalidade entre autovetores de um Hamiltoniano e como se expressa a condição de ortonormalidade?

Porque o Hamiltoniano é hermitiano: \( \langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{nm}\) e, em particular, \( \langle\psi_n|\psi_n\rangle=1\).

Observação: operadores hermitianos têm autovetores ortogonais para autovalores distintos e podem ser normalizados.

Exemplo:
\( \psi_0(x)=A_0 e^{-x^2/(2a^2)},\quad \psi_1(x)=A_1\frac{x}{a} e^{-x^2/(2a^2)}\) (os dois autovetores do oscilador harmônico).
\( \int_{-\infty}^{\infty}\psi_0(x)\psi_1(x)\,dx = A_0A_1\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-x^2/a^2}\,dx = 0\) (integrando uma função ímpar).
\( \) Escolhendo \(A_0=(\pi^{1/4}\sqrt{a})^{-1}\) e \(A_1=(\sqrt{2}\pi^{1/4}\sqrt{a})^{-1}\) garante \( \int_{-\infty}^{\infty}\psi_n^2\,dx=1\).