Flashcard FC277993
Para partículas ultrarrelativísticas, como se aproxima o tempo de voo em função de γ e como se obtém a massa de repouso m_0 a partir de um atraso Δt entre duas energias?
Física Moderna
CEBRASPE (CESPE) · 2018
Para partículas ultrarrelativísticas, como se aproxima o tempo de voo em função de γ e como se obtém a massa de repouso m_0 a partir de um atraso Δt entre duas energias?
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Resposta
Usa-se a expansão \(t\approx t_0+\tfrac{1}{2}t_0/\gamma^2\) com \(\gamma\approx E/(m_0c^2)\); a partir de \(\Delta t\) entre duas energias resolve-se \(\gamma\) e então \(m_0=E/\gamma\) (em eV/\(c^2\) se \(E\) em eV).Detalhamento:
\(t_0=\dfrac{D}{c}\). Para partículas ultrarrelativísticas, \(v\approx c\big(1-\tfrac{1}{2\gamma^2}\big)\) leva a \(t\approx t_0+\dfrac{1}{2}t_0\gamma^{-2}\).
Se \(E_A=rE_B\Rightarrow \gamma_A=r\gamma_B\). Então
\(\displaystyle \Delta t=t_B-t_A=\tfrac{1}{2}t_0\big(\gamma_B^{-2}-\gamma_A^{-2}\big)=\tfrac{1}{2}t_0\gamma_B^{-2}\big(1-r^{-2}\big)\).
Logo \(\displaystyle \gamma_B=\sqrt{\dfrac{(1-r^{-2})\,t_0}{2\Delta t}}\) e \(\displaystyle m_0=\dfrac{E_B}{\gamma_B}\) (em eV/\(c^2\) se \(E_B\) em eV).
Exemplo:
Considere \(E_A=30\ \text{MeV},\ E_B=10\ \text{MeV}\) (\(r=3\)), \(D=1\times10^{20}\ \text{m}\), \(\Delta t=5\ \text{s}\).
\(t_0=\dfrac{D}{c}\approx\dfrac{1\times10^{20}}{3{,}0\times10^8}=3{,}33\times10^{11}\ \text{s}\).
\(\gamma_B=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{t_0}{\Delta t}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{3{,}33\times10^{11}}{5}}\approx1{,}72\times10^5\).
\(m_0=\dfrac{E_B}{\gamma_B}=\dfrac{10\ \text{MeV}}{1{,}72\times10^5}\approx5{,}8\times10^{-5}\ \text{MeV}=58\ \text{eV}/c^2\).
Veja como foi cobrado:
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