Por que a componente horizontal da velocidade é constante em um lançamento sem resistência e como isso permite igualar os tempos entre o movimento horizontal e o tempo de voo?

Porque não há força horizontal, a componente V_x é constante; assim, para coincidir horizontalmente com outro corpo em MRU é preciso que seus tempos sejam iguais, com o tempo de voo dado por \(t=\dfrac{2V_y}{g}\).

Explicação:
Sem resistência, as componentes são independentes: a vertical sofre aceleração \(-g\) e a horizontal não tem aceleração, logo \(x(t)=V_x t\).
Para que outro corpo que se move em MRU alcance a mesma posição horizontal após o mesmo intervalo, deve ocorrer \(t_{\text{MRU}}=t_{\text{voo}}\).
E como \(t_{\text{voo}}=\dfrac{2V_y}{g}\), basta igualar os tempos para obter a condição sobre velocidades ou distâncias.

Exemplo:
Suponha um projétil lançado com \(V_x=3{\,}\text{m/s}\) e \(V_y=5{\,}\text{m/s}\).
Calcule o tempo de voo: \(t=\dfrac{2V_y}{g}=\dfrac{2\cdot5}{9{,}8}\approx1{,}020\ \text{s}\).
Deslocamento horizontal do projétil: \(x=V_x t=3\cdot1{,}020\approx3{,}06\ \text{m}\).
Se um carrinho em MRU precisa encontrar o projétil ao final desse intervalo, sua velocidade deve ser \(u=\dfrac{x}{t}=\dfrac{3{,}06}{1{,}020}\approx3{\,}\text{m/s}\), ou seja, igual à relação distância/tempo obtida a partir de \(t=\dfrac{2V_y}{g}\).