Se não há força horizontal, como varia o deslocamento horizontal com o tempo?

Linear — \(\Delta x = v_{0x}\,t\).

Explicação:
Se a aceleração horizontal é nula (\(a_x=0\)), o movimento é uniforme e o deslocamento cresce linearmente com o tempo: \(\Delta x = v_{0x}t\).
Uma dependência quadrática em \(t\) aparece apenas quando \(a_x\neq0\), pois então \(\Delta x = v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_x t^2\).

Exemplo:
Um disco desliza sobre gelo praticamente sem atrito com \(v_{0x}=4\ \mathrm{m/s}\).
Após \(t=3\ \mathrm{s}\): \(\Delta x=4\cdot3=12\ \mathrm{m}\).