Flashcard FC279121
Qual é o comprimento de uma volta completa da cicloide gerada por um ponto na borda de uma roda de raio R?
Cinemática
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Qual é o comprimento de uma volta completa da cicloide gerada por um ponto na borda de uma roda de raio R?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
L = 8R.Para demonstrar: as paramétricas são \(x=R(t-\sin t)\), \(y=R(1-\cos t)\).
Calculando derivadas: \(x'=R(1-\cos t)\), \(y'=R\sin t\).
Logo o elemento de comprimento é \(\sqrt{x'^2+y'^2}=2R\sin\frac{t}{2}\).
Assim \(L=\int_0^{2\pi}2R\sin\frac{t}{2}\,dt\).
Fazendo \(u=\tfrac{t}{2}\) obtém-se \(L=4R\int_0^{\pi}\sin u\,du=4R\cdot2=8R\).
Exemplo:
Se \(R=1\) m então \(L=8R=8\) m.
Cálculo: \(L=\int_0^{2\pi}2\cdot1\cdot\sin\frac{t}{2}\,dt=4\int_0^{\pi}\sin u\,du=4\cdot2=8\) m.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/278075
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em