Quais as condições necessárias para que um movimento seja circular e uniforme (MCU)?

Raio constante e velocidade angular constante.

Explicação:
Para MCU a posição pode ser escrita como \( \mathbf r(t)=(R\cos(\omega t+\phi),\,R\sin(\omega t+\phi))\) com \(R\) e \(\omega\) constantes.
Derivando, \( \mathbf v(t)=(-R\omega\sin(\omega t+\phi),\,R\omega\cos(\omega t+\phi))\).
Assim o módulo da velocidade é \( |\mathbf v|=\sqrt{(R\omega)^2} = R\omega\), constante se e somente se \(R\) e \(\omega\) forem constantes.

Exemplo:
Considere um ponto em um disco girando com raio \(R=2\ \text{m}\) e velocidade angular \(\omega=3\ \text{rad/s}\).
Posição: \( \mathbf r(t)=(2\cos(3t+\phi),\,2\sin(3t+\phi))\).
Velocidade escalar: \( |\mathbf v|=R\omega=2\cdot3=6\ \text{m/s}\), constante, logo o movimento é circular e uniforme.