Como se obtém o vetor aceleração em movimento circular uniforme e qual são sua direção e seu módulo em função de ω e do raio R?

Direta: Para MCU: \(\vec a = -\omega^2 \vec r_{\perp}\), direção radial para o centro, módulo \(a=\omega^2 R\).

Explicação completa:
Para uma posição genérica no plano: \( \vec r(t)=R(\cos\omega t\,\mathbf i+\sin\omega t\,\mathbf j)\).
Derivando: \( \vec v(t)= -R\omega\sin\omega t\,\mathbf i + R\omega\cos\omega t\,\mathbf j\).
Derivando novamente: \( \vec a(t)= -R\omega^2\cos\omega t\,\mathbf i - R\omega^2\sin\omega t\,\mathbf j = -\omega^2 \vec r(t)\).
Logo, a aceleração é sempre dirigida para o centro (centrípeta), perpendicular à velocidade, e seu módulo é \(a=\omega^2 R\).

Exemplo:
Considere \( \vec r(t)=2(\cos\omega t\,\mathbf i+\sin\omega t\,\mathbf j)\) com \(\omega=\pi\ \mathrm{rad/s}\) e \(R=2\ \mathrm{m}\).
Então \(a=\omega^2 R=(\pi)^2\cdot 2\approx 19{,}74\ \mathrm{m/s^2}\).
Vetorialmente: \( \vec a(t)=-2\pi^2(\cos\pi t\,\mathbf i+\sin\pi t\,\mathbf j)\), apontando radialmente para o centro do círculo.