Qual é a expressão do torque em função de \(\vec r\) e \(\vec a\), e por que \(\vec v\times m\vec v=0\) leva a \(\vec\tau=\dfrac{d\vec L}{dt}=\vec r\times m\vec a\)?

\(\vec\tau=\dfrac{d\vec L}{dt}=\vec r\times m\vec a\)

\Porque \
\(\dfrac{d}{dt}(\vec r\times m\vec v)=\vec r\times m\vec a+\vec v\times m\vec v\), e como \(\vec v\times\vec v=\vec0\) fica \(\dfrac{d\vec L}{dt}=\vec r\times m\vec a\).

Exemplo:
\Partícula descrevendo um círculo no plano yz com deslocamento em x:
\(\vec r=1\,\mathbf i+2\cos(\omega t)\,\mathbf j+2\sin(\omega t)\,\mathbf k\)
\(\vec v=-2\omega\sin(\omega t)\,\mathbf j+2\omega\cos(\omega t)\,\mathbf k\)
\(\vec a=-2\omega^2\cos(\omega t)\,\mathbf j-2\omega^2\sin(\omega t)\,\mathbf k\)
\(\displaystyle \vec\tau=\vec r\times m\vec a=m\big(1\mathbf i+2\cos\omega t\,\mathbf j+2\sin\omega t\,\mathbf k\big)\times\big(-2\omega^2\cos\omega t\,\mathbf j-2\omega^2\sin\omega t\,\mathbf k\big)\)
\(=\;2m\omega^2\big(\sin(\omega t)\,\mathbf j-\cos(\omega t)\,\mathbf k\big)\).
\