Quais condições são necessárias para que uma força central resulte em uma trajetória circular?

Resposta

Uma força central garante apenas conservação do momento angular; para a trajetória ser circular é preciso também que o raio seja constante, i.e., que a componente radial satisfaça a condição centrípeta \(F_r(r_0)=-m r_0\dot\theta^2=-m v^2/r_0\).

Explicação:
Uma força central tem torque nulo, portanto \(L=m r^2\dot\theta\) é constante.
Mas circularidade exige \(r=r_0\) constante, o que impõe equilíbrio radial \(F_r(r_0)=-m r_0\dot\theta^2\).
Se o módulo de \(F_r\) varia com r, essa igualdade pode não ocorrer e o raio mudará, gerando órbita não circular.

Exemplo:
Considere \(F_r=-k r\) (força central elástica). A condição para órbita circular é
\( -k r_0 = -m r_0 \dot\theta^2 \Rightarrow \dot\theta^2 = k/m\) e \(v=r_0\dot\theta = r_0\sqrt{k/m}\).
Ex.: com \(m=1\) kg, \(k=4\) N/m e \(r_0=0{,}5\) m temos \(v=0{,}5\sqrt{4}=1\) m/s — nessa velocidade a trajetória é circular; para outra velocidade o raio varia.